一文解析货币时间价值难点——普通年金

在有关货币时间价值的相关应用中，年金最为复杂，难度最高。年金也为复利计息的一种，相较于单笔金额复利计息时，投资者只在t=0时刻往银行账户放入初始资金(本文通篇将以投资者进行最简单的存款投资为例进行说明，投资回报为银行存款利息)，后续复利期间不取出或新存入资金，年金现值与终值判断的难度在于投资者除在t=0时刻将资金存入账户外，后续每一年/期均会往账户新增存入或取出一笔资金。新增存入或取出发生在每一期期末的年金为普通年金。

普通年金终值解析

普通年金的终值计算，与单利计息或单笔金额复利计息类似，均是为了计算初始资金t=0时刻存入银行账户后，未来t=n时刻共能取出金额为多少的本金与利息总和。以下举例说明普通年金投资现金流变化情况：假设在第一年年末t=1时刻(注：普通年金终值计算时假设投资者进行初始投资的时刻为t=1时刻，而不是t=0)投资者往银行账户存入初始投资金额Inv0，并且此后的每一年年末，投资者均会往银行账户中新增存入Inv0作为后续追加投资，一直持续到第n年年末。截至第n年年末，投资者共完成存入行为n次，共计存入金额为n×Inv0，但因为银行存款利率的存在，第n年末，投资者银行账户余额Inv(t=n)必定将大于n×Inv0。Inv(t=n)即为此例中普通年金的终值。

法一：由于投资者存入行为发生在多个时点，那么每一笔存入的Inv0将会对应产生不同的利息收入。现将投资者连续在n年年末存入Inv0的行为分开来看，相当于投资者在n年内进行了n次不同的投资，将不同时点存入的Inv0在t=n时刻的本利和相加便可得到Inv(t=n)。在t=1时刻存入的Inv0在t=n时刻本利和为Inv0×(1+i)n-1(按每年复利一次，共复利n-1次);在t=2时刻存入的Inv0在t=n时刻本利和为Inv0×(1+i)n-2，以此类推。

法二：也可通过计算前几年年末投资者银行账户余额，寻找一定规律获得第n年年末Inv(t=n)的金额。具体详细推演步骤入下图所示：

普通年金现值解析

普通年金现值计算可简单理解为：现在t=0时刻投资者想进行一笔存款投资，并且之后不再追加投资，但投资者预期每年年末均会从银行账户取走固定金额W，截至第n年年末取完最后一次W(共取n次，取出金额共计n×W)，账户余额刚好为0。已知银行存款利率为i，现求投资者在t=0时刻共要存入多少初始资金Inv0才可满足投资者后期连续n年的取款。Inv0即为本例普通年金的现值。

由于在t=0时刻投资者存入银行的初始资金Inv0会在n年内不断产生利息，即使每年末被取走了W，剩余部分仍可以继续复利，因此投资者t=0时刻初始存入的资金势必小于n×W。现要计算Inv0，可以第n年年末取走第n次W后账户余额为0作为突破口。第一年年初t=0时刻，投资者往银行账户存入Inv0，到第一年年末t=1时刻，投资者原来t=0时刻存入资金的本利和将变为Inv0×(1+i)，但因为t=1时刻投资者会从账户中取走W，故t=1时刻银行账户投资余额将变为Inv0×(1+i)—W;此余额为第二年参与复利的本金，第二年年末投资者取走W之前，账户中本利和为【Inv0×(1+i)—W】×(1+i)，取走W后t=2时刻账户余额变为【Inv0×(1+i)—W】×(1+i)—W。以此类推，t=n时刻，投资者最后一次取走W后，账户余额将为Inv0×(1+i)n +W×【1+(1+i)+(1+i)2+……+(1+i)n】=0，求解Inv0。具体推演步骤如下图所示：

普通年金应用总结

普通年金虽为货币时间价值中的难点应用，但只要深入理解了货币时间价值的真正含义，其应用也将逐渐清晰。值得注意的是，本文中为便于理解，通篇采用最基本的存款投资作为案例。实际上，普通年金的应用范围十分广泛，可用于多种类型的投资项目，但其中的本质均是一样的，理解其公式的来源以及推导后，便可灵活应用于各类投资分析。

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